华中科技大学学报杂志社

关键词：高维压制傅里叶

马森

 

（山西省煤炭地质一一五勘查院有限公司，山西 大同 037003）

 

在野外地震数据离散采集过程中，为了恢复完整而规则的地震信号，必须遵守奈奎斯特采样定理的要求，然而由于地震数据体的采样已达到了五维，数据采集面临巨大的压力，再加上采集设备、工作环境及经济成本的限制，导致不能够理想而规则地布置炮点和检波点，使得沿空间方向上的地震数据通常出现严重的缺失现象，产生空间假频，这种稀疏分布的地震数据难以满足高分辨地震勘探的需要。在这种情况下，希望能够发展一种较好的地震数据重建方法，通过利用较少的野外地震数据在随后的处理中重建出理想的完整数据，得到同样的地震勘探效果，这样既可以突破传统采样定理的限制，也可以解决地震道不规则缺失问题，并且可以压缩地震数据量，满足后续其他处理方法的要求。另外，如果有适当的高效率重建方法，就可以在野外数据采集过程中主动采集较少的地震道，避开施工盲区，降低采集成本，提高施工效率。但这种利用极少数据来恢复全部数据的问题，从信息重建的地球物理反演角度来说，显然是不确定的，在数学上很难求解。

 

1 研究背景

目前地震数据体的采样已达到了五维，对于缺失严重的地震道，无论是均匀还是非均匀网格采样，数据重建可利用的地震信息较少，无法从多个信息空间上对地震数据进行约束重建，从而导致某个空间方向地震道缺失严重时重建效果欠佳[1]。显然也有必要将本文提出的重建方法推广到高维数据重建中去（大于二维都称为“高维”），增加其他空间方向的有效波信息，允许从不同空间方向增加更多的地震道参与对缺失道重建，更能够反映复杂地区地震波场振幅和相位等特征的细小变化，进一步提高其重建精度和效率，满足工业化生产的要求。需要说明的是，由于时间方向（或频率方向）不需要重建，五维地震数据可利用的空间方向信息为四维空间，精确来讲，应该叫做四维地震数据重建，但考虑到还有一维为时间或者频率，本文仍然称之为五维地震数据重建。

 

同时，由于野外采集到的缺失地震数据常常受到高频随机噪声干扰的影响，进一步降低了地震记录的信噪比和分辨率，严重影响到数据重建方法的效果，造成缺失道不能充分重建或者重建后精度较低。而且，在对不规则地震数据重建过程中，也会带来一定程度的随机噪声干扰，导致信号畸变或者边缘不光滑现象，也极大地影响到信号的准确成像和波场归位，这就需要在数据重建过程中对随机噪声进行适当压制，提高重建算法的精度和效率。尽管目前许多学者提出了高效率的数据重建和噪声压制方法，然而大部分有效的数据重建方法与噪声压制方法都是单独分开进行处理，缺少能够同时进行地震数据重建和噪声压制方法，并且可以具有反假频重建能力[2]。

 

其实，数据重建也是一个不断去除不规则或规则缺失道所引起的噪声干扰过程，尽管与噪声压制有不同的输出，但它们都是以提高信噪比为相同目的。因此，本文试图将随机噪声压制技术和反假频数据重建方法进行统一，使本文提出的重建方法能够同时进行反假频数据重建和噪声压制，提高整体数据处理水平。

 

基于以上问题，本文拟采用傅里叶变换作为稀疏表示基，引入凸集投影等算法，构建新的阈值参数公式，定义加权算子，充分利用多维空间信息，实现均匀采样网格下缺失地震数据的高维同时重建和去噪方法；在此基础上针对非均匀网格采样重建问题，引入非均匀傅里叶变换，实现非均匀网格采样下缺失地震数据的高维同时重建和去噪方法；同时提出利用全频段数据建立反假频和去噪机制，最终实现均匀网格和非均匀网格采样下缺失地震数据的高维同时反假频重建和去噪方法，以便解决复杂地区中遇到的实际缺失问题，进一步节省成本，提高施工效率。

 

2 研究内容、目标及拟解决的关键科学问题

2.1 项目研究内容

建立一个具有实际意义的地质模型，设计不同的采集参数，采用声波有限差分方法进行模拟，得到本文研究所需要的高维地震数据体；再对它进行随机或者规则欠采样，模拟出野外数据采集时炮点与检波点缺失过程，并加上高斯随机噪声作为理论缺失地震数据；然后采用本文的同时数据重建和去噪方法对缺失道地震数据进行处理，检验本文方法的优势与不足。

 

选择傅里叶变换作为稀疏表示基，在L1 范数约束条件下，引入凸集投影等算法，并在讨论传统阈值参数与迭代收敛速度之间关系的基础上，提出新的阈值参数选取策略，分析其误差，完善算法精度，在完成二维数据重建方法的基础上，逐步将该重建方法扩展到五维数据重建中去，实现五维地震数据重建方法。同时采用相邻迭代重建结果误差能量与前一次迭代结果能量的比值来衡量缺失道的恢复程度及检验不同频率成分的重建情况。

 

在实现基于凸集投影算法的高维地震数据重建方法过程中，通过对原始待重建数据定义加权算子策略，使得在迭代过程中噪声观测值部分参与重建，在一定程度上对噪声进行压制，从而在均匀网格采样下，实现五维同时数据重建和去噪，提高数据重建后的精度。

 

引入高维非均匀快速傅里叶变换，采用凸集投影算法求解病态的欠定方程组，通过利用高维空间方向的有效信息，在非均匀网格采样下实现基于五维地震数据同时重建和去噪，更加精确地重建出复杂地区地震波场的振幅和相位等特征的细小变化，并对比分析其重建效果，进一步完善算法的精度。

 

由于常规凸集投影算法不具有反假频能力，并且去噪也不彻底[3]。为此，拟在频率波数域上，利用全频段数据建立同时反假频和去噪机制，形成与原始有效波相对应的Mаsk 函数，并将它融入到凸集投影算法中，弥补凸集投影算法反假频和去噪不彻底的缺陷，在均匀网格和非均匀网格采样下实现高维同时反假频重建和去噪，从而使得该方法在反假频的基础上重建出规则而完整的地震数据，并去除随机噪声，提高精度。

 

在传统凸集投影算法的基础上，为了形成对比，引入线性Brеgmаn 方法，增加L2 范数约束条件，得到一个新的迭代正则化模型来求解凸优化问题，并选择合适的步长和新的投影函数，提出新的L1 范数和L2范数之间的权衡因子，进一步提高重建精度和运算速度。

 

2.2 目标及拟解决的关键科学问题

针对复杂地区地震勘探成本过大、数据采集量过高、地震道容易缺失等问题，首先，引入凸集投影算法，以快速傅里叶变换和非均匀快速傅里叶变换作为稀疏表示基，并采用加权因子进行噪声压制；然后，利用全频段地震数据进行反假频数据重建；最终，系统完善复杂地区缺失地震数据的高维反假频重建和随机噪声压制方法。

 

拟解决的关键科学问题如下：①选择傅里叶变换作为稀疏表示基时，如何得出凸集投影算法或线性Brеgmаn 算法中的最优参数设置，使得在稀疏变换域L1 范数下或L1 和L2 范数约束下得出最优解，并且当重建维数达到五维时，如何提高算法运行速度，使得在一定误差范围之内重建出完整而规则的地震数据；②如何选取加权算子，设置阈值参数公式，使得本文方法能够在去除随机噪声的同时实现快速高精的高维地震数据重建；③当野外数据采样网格非均匀时，需要引入非均匀快速傅里叶变换求取傅里叶系数，而当空间非均匀地震道少于预期的傅里叶系数时，求解欠定的病态方程，如何求解这个欠定方程则是本文又一个较为关键的问题；④利用全频段数据进行同时反假频重建和去噪时，如何在频率波数域进行倾角扫描拾取弱有效波能量，当建立了Mаsk 函数后，如何融入到凸集投影算法，得到时空域无假频和去噪后的地震数据。

 

3 技术路线

在野外采集过程中，地震数据经常会出现地震道严重缺失和随机噪声干扰问题，这对后期的资料处理和资料解释产生极大的困扰。需要使用技术手段对不规则缺失的地震数据进行重建，并且引入非均匀快速傅里叶变换，在非均匀网格采样下实现地震数据同时反假频重建和去噪，最终实现对地震数据的还原，为后期的工作提供良好的基础。

 

根据研究内容的特点，拟采用理论分析、正反演计算、数值模拟与实际应用相结合的研究方法，建立和完善复杂地区缺失地震数据的高维同时反假频重建和去噪方法，探讨该方法的应用效果，具体的研究技术路线如下。

 

首先，建立一个具有实际意义的复杂三维地质模型，设计不同的采集参数，其中炮距和道距的采样网格较密，远远满足采样定理的要求，便于后续抽成非均匀网格采样并形成对比；然后，采用声波有限差分方法进行计算，模拟出正演地震记录，并将它抽道选排，得到本文研究所需要的高维地震数据体。由于时间方向上不需要重建，因此可对时间切片进行不同维数的规则或者非规则欠采样，模拟出炮点与检波点缺失过程，然后采用本文所提方法进行缺失道数据重建和噪声压制，并且将重建后的地震数据进行处理得到叠加剖面，再与实际的地质模型进行对比分析，检验本文重建方法的优势与不足。

 

引入凸集投影算法，采用傅里叶变换作为稀疏基，通过多次迭代运算将缺失地震道重建出来，得到基于凸集投影的地震数据重建方法，并分析该算法的效率与精度。在传统阈值参数的基础上提出新的阈值参数，不断完善算法，得出欠定方程的最优解。并在此基础上，将该方法扩展到五维数据重建中，增加其他四维空间方向的信息参与重建，在均匀网格采样下，得到基于凸集投影算法的五维地震数据重建方法，进一步提高重建算法的精度。同时采用第K次与第K－1 次迭代结果误差能量与第K－1 次迭代结果能量的比值来进行重建质量控制及衡量缺失道的恢复程度，从而可以检验例如去掉多少地震道（炮）、连续缺失多少道、不同频率成分及不同噪声情况下的重建精度情况。

 

由于传统基于凸集投影算法的五维地震数据重建方法不能同时压制噪声，而采集到的地震数据往往包括高频随机噪声干扰，影响到后续包括数据重建在内的处理方法效果[4]。因此，通过对原始待重建数据定义加权算子策略，使得在迭代过程中噪声观测值部分参与重建；并且随着迭代次数的增加，噪声观测值所占的比例越来越少，在一定程度上对噪声进行了压制，在均匀网格采样下实现缺失地震数据的五维同时重建和噪声压制方法，提高数据重建后的精度和质量。需要说明的是，由于陆地地震数据采集面波能量较强，在采用凸集投影算法进行迭代计算时，不能有效地拾取有效波能量，并且对后续反假频方法也具有较大的影响，因此本文的噪声压制重点指随机噪声干扰。

 

在形成均匀网格采样下基于凸集投影算法和噪声压制的地震数据重建方法的基础上，引入非均匀快速傅里叶变换，采用稀疏促进反演策略，在非均匀网格采样下实现同时数据重建和噪声压制方法，并将该方法推广到五维地震数据中，达到工业化应用目的。由于快速傅里叶变换是在均匀采样网格下进行处理的，如果直接处理非均匀网格采样的数据，则不会产生精确的傅里叶系数，导致重建效果极差；然而可以采用非均匀快速傅里叶变换替代空间均匀快速傅里叶变换，从而可以将傅里叶系数与空间非均匀网格采样的地震道建立方程。但欠采样得到的非均匀网格采样的地震道一般少于预期的傅里叶系数；该方程为欠定的病态方程，可以通过凸集投影等算法进行求解，得到均匀网格采样下的傅里叶系数；然后再进行均匀傅里叶反变换，从而重建出缺失地震道，并且将不均匀采样网格归位为均匀采样网格。同样在数据重建过程中，可将该方法扩展到五维空间中，增加其他空间方向上的信息，最终在非均匀网格采样下实现缺失地震数据的五维同时重建和噪声压制方法。

 

传统基于凸集投影算法的重建方法只能重建出不规则缺失地震道，而缺失道较为规则或者缺失道较为严重时可能容易形成幅度与有效频谱相当的规则假频，此时传统基于凸集投影算法的重建方法则无能无力，也就是不具有反假频能力，并且去噪过程中，还有部分地震道噪声参与迭代，使得去噪能力有限。为此，本文假设地震数据近似为线性同相轴的前提下，采用傅里叶变换将时空域地震数据转换到频率波数域中。首先，从频率波数域的原点位置开始，突破传统利用无假频的低频信号来预测有假频的高频信号的反假频方式，在全频段范围内采用倾角扫描的方法确定主要同相轴能量，由于在频率波数域具有对称的特点，只需要对正频率进行扫描计算；其次，依据有效波能量的分布情况在频率波数域中建立Mаsk 函数，在Mаsk 函数中，有效波能量区域的值都设置为1，其他区域能量都设置为0，这样可以保存原始信号，消除假频干扰，并且进一步压制噪声；最后，将Mаsk 函数融入凸集投影算法中，通过多次迭代反演运算，即可得到时空域的规则无假频和去噪彻底后的地震数据。对于非线性同相轴，可以在时空域设置不同的空间窗口，使得在较小空间窗口内满足同相轴近似线性的前提假设条件，并且每个窗口的地震道互相重叠一部分[5]，尽管会影响到计算速度，但可以保证在整个重建过程中的连续性。同样也可将该方法推广到五维数据重建和去噪中，进一步提高处理效果。

 

凸集投影算法主要是基于L1 范数约束条件，重建后的光滑性下降，为此尝试引入L1 和L2 范数约束下的高效率线性Brеgmаn 方法，以便形成对比。线性Brеgmаn 算法可以得到一个新的迭代正则化模型来求解凸优化问题，在L1 和L2 范数约束下，通过模拟测试对比，选择不同的计算步长和新的投影函数，提出新的权衡因子公式来调节L1 和L2 范数的约束比例，使得重建和去噪后的同相轴更为光滑连续，进一步提高重建精度和运算速度，再与凸集投影算法进行比较。

 

4 结束语

将理论研究成果应用于实际地震资料，通过重建和去噪前后的效果对比，检验该方法的适用性，并且针对实际数据量巨大，处理速度较慢的缺点，拟采用并行机进行计算，检测该重建方法及软件的有效性，并反馈于理论研究中，完善与修改算法参数，最终应用于实际生产中。